Ecuaciones Cuadráticas

Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación. Ejemplo:

La ecuación:

3X - 8 = 10

sólo se cumple para X = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que X = 6 es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por ejemplo, X = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo)

Resolver una ecuación es hallar los valores de X que la satisfacen a través de técnicas matemáticas variadas. Si la ecuación es de primer grado, un despeje es el procedimiento general. Si el grado de la ecuación es superior a uno, deben utilizarse otros métodos.

Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X² - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.

El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuación general de la ecuación de segundo grado: ax² + bx + c = 0 hasta que la X quede despejada. Dicho procedimiento no será cubierto en este documento. La solución de una ecuación de segundo grado es la llamada fórmula resolvente:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo + y otra con el signo - antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita entonces, a identificar las letras a,b y c y sustituir sus valores en la fórmula resolvente.

Es de hacer notar que, utilizar la fórmula resolvente es un procedimiento que debe realizarse con cuidado y requiere extraer la raíz cuadrada de un número, bien sea con calculadora o cualquier proceso manual.

Estas dificultades hacen que el estudiante inexperto se equivoque constantemente en la solución. Existen procedimientos particulares, sólo aplicables a ciertos casos, en los cuales se pueden hallar las raíces de forma mas fácil y rápida. Tienen que ver con las técnicas de factorización.

Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones, también llamadas raíces, a saber:

El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante. Se define al discriminante D como:

Si el discriminante es positivo, entonces la raíz cuadrada es un número real y se generan dos raíces reales distintas

Si el discriminante es cero, la raíz es cero, y ambas raíces resultan el mismo número.

Si el discriminante es negativo, la raíz cuadrada es imaginaria, produciéndose dos raíces imaginarias o complejas.

A continación se resolverán algunos ejemplos que mostrarán todos los casos posibles ya mencionados.

Se identifican las letras, cuidando de que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = - 5 ; b = 13 ; c = 6. Se aplica la fórmula:

Como las raíces cuadradas no son usualmente memorizadas, deben sacarse con calculadora, por tanteo o por el procedimiento manual. La raíz buscada es 17, ya que el cuadrado de 17 es precisamente, 289. Se tiene entonces que:

Hay dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra el signo -. Llámense X₁ y X₂ a las dos soluciones, que serán:

Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella, producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verficación.

Probando con x = 3. Resulta: -5.(3)² + 13.(3) + 6 = -45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el segundo miembro.

Obsérvese que la fracción 20/25 se simplificó a 4/5 antes de sumarla con la otra. Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 2 y -2/5 son las raíces de - 5x² + 13x + 6 = 0

No pueden identificarse las letras directamente, ya que la ecuación está desordenada y no hay un cero del lado derecho de la igualdad, por lo tanto, deben hacerse los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma deseada. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta: - x² +6x - 9 = 0. Ahora se identifican letras:
a = -1 ; b = 6 ; c = -9 ; y se aplica la fórmula resolvente:

Obsérvese que el discriminante es igual a cero, por lo cual se producen dos raices iguales a 3, es decir,
x₁ = x₂ = 3. Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que : 6.3 - 3² = 18 - 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta.

Nuevamente hay que ordenar y trasponer para obtener: x² -6x + 13 = 0 ; Identificando letras: a = 1 ; b = -6 ;
c = 13. Aplicando la resolvente se tiene:

Oops! El discriminante es negativo y ninguna calculadora evaluará la raíz cuadrada de un número negativo porque este es un resultado que pertenece a los números complejos. Sin entrar en detalles que escapan del alcance del presente documento, la raíz de -16 es 4i, siendo i la base de los números complejos o imagiarios, es decir:

. Las raíces quedan entonces:

Separando las dos respúestas, las soluciones serán: X₁ = -3 + 2.i ; X₂ = -3 - 2.i. La comprobación requeriría operaciones con números complejos en forma binómica. Se deja al lector interesado, investigar y comprobar.

Los siguientes ejercicios son planteamientos que generan una ecuación de segundo grado. Primero debe plantearse la lógica del problema, llamando x a una de las variables que el problema establece; luego deben escribirse las relaciones entre la variable, de acuerdo al planteamiento y finalmente, se resuelve la ecuación.

No existe un procedimiento general para manejar la parte lógica de este tipo de problemas, sólo la experiencia va dando la experticia necesaria para plantearlos. El lector interesado puede consultar el libro "Algebra" de Aurelio Baldor, considerado por muchos como la biblia del álgebra.

6.1.- La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números

Primero se asigna la variable x a una de las incógnitas del problema. Hay dos incógnitas que son ambos números, como el problema no hace distinción entre uno y otro, puede asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo:

x = Primer número // Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el otro será:

Merece la pena explicar mejor esto: Si entre su amigo y usted tienen Bs 1000, y su amigo tiene Bs 400, ¿Cuánto tiene usted?, obviamente, restando el total menos 400, es decir 1000 - 400 = Bs 600. Si su amigo tiene Bs x, la cuenta no cambia, sólo que no sabrá el valor sino en función de x, es decir, usted tiene 1000 - x

La condición final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos números resulta 58, entonces:

Para resolverla, hay que aplicar algunas técnicas de álgebra elemental y luego reordenar para aplicar la resolvente. La operación indicada entre paréntesis es el cuadrado de un binomio. Es un error muy común entre los estudiantes (muy difícil de erradicar, por cierto) que escriban: ( a - b )² = a² - b² , lo cual es incorrecto. La expresión correcta es: ( a - b )² = a² - 2.a.b + b²

Desarrollando la ecuación se tiene: x² + 10² - 2.10.x + x ² = 58 => x² + 100 - 20.x + x ² = 58

Ordenando y agrupando: 2x² - 20.x+ 42 = 0 ; Dividiendo entre 2 toda la ecuación: x² - 10x+ 21 = 0

Aplicando la resolvente resulta x₁ = 3 y x₂ = 7. El problema genera (aparentemente) dos soluciones, así que hay que probar con ambas posibilidades. Supóngase que se toma la primera (x = 3). Revisando el planteamiento inicial, se observa que: Primer número: x = 3 ; Segundo número = 10 - 3 = 7.

Si se toma la segunda respuesta (x = 7), resulta: Primer número: x = 7, Segundo número = 10 - 7 = 3. En ambos casos, ya que no hay diferenciación entre ambos números, la única respuesta es: Los números buscados son 3 y 7.

6.2.- El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.

En este caso, si hay diferenciación entre largo y ancho, así que hay que tener cuidado con la asignación y sobre todo, con la interpretación de la variable x. Este problema permite fácilmente que la x se coloque en cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho. Supóngase que:

x + 3 = largo de la sala. // El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos:

x. (x + 3 ) = área de la sala. Téngase en cuenta que estos son los datos iniciales.

Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, así que, luego del aumento quedan:

Se simplifica: - x² + 2x + 15 = 0

Esta es la ecuación a resolver. Se aplica la resolvente y resulta: x₁ = 5 y x₂ = - 3. La solución x = -3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo. Se toma como única respuesta que el ancho original era 5 metros. Mirando las condiciones iniciales, se deduce que el largo es: x + 3 = 8 metros. Así que el área original era 8m.5m = 40 m².

6.3.- Halle el área y perímetro del tríángulo
rectángulo mostrado. Las dimensiones
están en metros

Si el triángulo es rectángulo, entonces se cumple el Teorema de Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". La hipotenusa es el lado mayor (2x-5) y los otros dos son los catetos; se plantea entonces la ecuación:

x² + 2.3.x + 3² + x² - 2.4.x + 4² = (2x)² - 2.(2x).5 + 5² = x² + 6x + 9 + x² - 8x + 16 = 4x² - 20x + 25

Las raíces de la ecuación son x₁ = 0 y x₂ = 9. La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería -4 m, lo cual no es posible. La solución es entonces, x = 9. De esta manera, el triángulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros. El área de un triángulo es base por altura sobre 2; la base y la altura son los dos catetos que están a 90° , por lo tanto el área es A = 12 . 5 / 2 = 30 m². El perímetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m.

Ejercicios desarrollados, resueltos y revisados por: Carlos E. Utrera, Rev: Junio 2006


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