|
|
AULAS DE MATEMÁTICA
Análise Combinatória
Introdução
A análise combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar o número de elemrntos de um conjunto, sendo estes elementos, agrupamentos formados sob certas condições.Princípio Fundamental da Contagem
Se determinado evento ocorre em n etapas, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente até que a última etapa possa ocorrer de Kn maneiras diferentes, então o número total T de maneiras de ocorrer o evento é dado por:
T = k1 · k2 · k3 · ... · kn
Exemplo: Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual o número de seqüencias possíveis cara e coroa?
Indiquemos por K cara e C coroa.
Queremos o número de diferentes conjuntos {a,b,c} que podemos formar, onde a, b e c pertencem ao conjunto {K,C}, ou seja, ou são cara ou coroa (2 possibilidades para cada.
Logo, o número T de maneiras é:
T = 2.2.2 = 8
Arranjo
São agrupamentos formados com k elementos, de forma que os k elementos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.
Arranjo com Repetição
Seja M um conjunto com m elementos: M = {a1,a2,a3,...,am}. Chamamos arranjo com repetição do m elementos, tomados r a r, toda r-upla ordenada (seqüência de tamanho r) formada com elementos de M não necessariamente ditintos.
Pelo princípio fundamental da contagem, o número de arranjos possíveis é dada por: N = m^r (m elevado a potência r).
Exemplo: Uma urna contém 3 bolas de cores diferentes. Uma bola é retirada, observada sua cor e reposta na caixa. Em seguida outra bola é retirada e observada sua cor. Quantas são as possíveis seqüencias de cores observadas.
Cada seqüência é um par ordenado de cores (x,y) onde x e y podem ser de 3 cores diferentes. Pelo princípio fundamental da contagem, o número de pares distintos é 3.3 = 9
Arranjo Simples
Arranjo simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. O número de arranjos simples de n elementos em grupos de p elementos é dado por:
An,p = n!/(n-p)! , onde n! = n.(n-1).(n-2).....2.1
Exemplo: Quantos números de 2 algarismos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4 sem repeti-los?
Neste caso temos que o número n de elementos é 4 e o grupo é formado por 2 (p) elementos. Logo:
A4,2 = 4!/(4-2)! = 4!/2! = 4.3.2.1/2.1 = 4.3 = 12 números
Combinações
São agrupamentos de k elementos nos quais sóo nos interessa a natureza dos elementos num grupo, e não a sua ordem.
Pereceba que a grande diferença entre Combinações e Arranjos é que nas Combinações não importa a ordem dos elementos enquanto nos Arranjos importa.
Combinações Simples
Combinações simples de n elementos distintos tomados k a k são subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.
Cn,k = n!/(k!*(n-k)!)
Exemplo: Quantas combinações de 3 pessoas podem ser constituídas de 4 pessoas?
C4,3 = 4!/(3!.1!) = 4.3.2.1/3.2.1 = 4 combinações
Permutações Simples
Permutação simples é um caso particular de um arranjo simples, uma vez que é o tipo de agrupamento ordenado, sem repetição, em que entram todos os elementos do grupo.
O cálculo do número de permutações simples é: Pn = n!
Exemplo: Quantos números de 3 algarismos distintos pode-se formar com os algarismos 2,3,4?
P3 = 3! = 3.2.1 = 6 números
Exercícios de aplicação:
(UFPA-PA) Quantos são os anagramas da palavra BRASIL começados por B e terminados por L?
a) 24
b) 120
c) 720
d) 240
e) 1.440(UFCE) A quantidade de números pares de 4 algarismos distintos que podemos formar com os algarismos 1, 2, 4, 5, 7, 8 e 9 é:
a) 20
b) 60
c) 240
d) 360
e) n.d.a.(Aman-RJ) As diretorias de 4 membros que podemos formar com 10 sócios de uma empresa são:
a) 5.040
b) 40
c) 2
d) 210
e) n.d.a.Obs.: Caso haja dúvidas em qualquer exercício, mande um email para o Prof Emerson que faremos de tudo para ajudá-lo.
